Kinematika ˆ Hogyan mozognak a testek? ˆ nem fontos a mozgás oka 1 A mozgások leı́rása 1.1 Vonatkoztatási rendszer A mozgások leı́rásához valamihez viszonyı́tanunk kell. Vonatkoztatási pont + koordináta-rendszer ⇒ vonatkoztatási rendszer. pl.: ˆ derékszögű koordináta-rendszer ˆ földrajzi koordináta-rendszer ˆ csillagászati koordináta-rendszer ˆ polár koordináta-rendszer ˆ henger koordináta-rendszer 1.2 Elmozdulás - út ⃗ = r⃗B − r⃗b ←− elmozdulás ∆r AB görbe = pálya AB szakasz = megtett út 1.3 A mozgás jellemzése A mozgások jellemzéséhez bevezetjük a sebesség fogalmát. A sebesség az adott elmozduláshoz szükséges − időt jellemzi. Jele: → v . A sebesség vektormennyiség, ha ∆t → 0, akkor iránya a pályához húzott érintő. −→ h i ∆r m → − v = ∆t s 2 EVEM - egyenes vonalú, egyenletes mozgások Pályája egyenes, a sebessége állandó. −→ s − s0 s − s0 ∆s → − = = v = ∆t t − t0 t s = s0 + v · t Galilei-féle relativitási elv A nyugalom és az egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenértékű állapotok, nem lehet őket megkülönböztetni. 2.0.1 Átlagsebesség Az átlagsebesség NEM egyenlő a sebességek számtani közepével, ugyanis kisebb sebesség esetén azonos út megtételének ideje megnő. Ezért: P sössz s vátlag = = P tössz t 2.0.2 Relatı́v sebességek A : vrel1−2 = v2 − v1 B : vrel1−2 = v2 − (−v1 ) = v2 + v1 − v−→ = − v−−→ − − v−−→ rel másik saját 2.1 Egyszerű összetett mozgások Mekkora utat tesz meg a hajó, amely a v0 = 3m/s sebességgel folyó folyó túloldalára (d = 300m) szeretne átjutni v1 = 2m/s sebességgel. d 300 = = 150 s v1 2 x = v0 · tmozg = 3 · 150 = 450 m tmozg = y = d = 300 m p x2 + y 2 = 4502 + 3002 =≈ 540.83m s 540.83 v= = ≈ 3.61 m/s tmozg 150 s= 3 p Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás A változó mozgások jellemzéséhez szükséges a sebesség változásának ütemének ismerete. A sebességváltozás − ütemét gyorsulásnak nevezzük. Jele → a −→ h i ∆v m → − a = ∆t s2 Ha | a | állandó a= v − v0 v − v0 = ⇒ v = v0 + a · t a sebesség törvénye ∆t t Mekkora az út? v0 + a · t + v 0 2v0 + a · t v + v0 ·t= ·t= 2 2 2 1 s = v0 · t + · a · t2 négyzetes úttörvény 2 s = vk · t = A két törvényből levezethető a fékút egyenlete 4 Esések és hajı́tások 4.1 Szabadesés v0 = 0 vv =? tesés =? s= v 2 − v02 2a h= 1 2 g 2 s a = g = 9, 81m/s2 t= 2h g s vv = g · tesés = g · 4.2 2h p = 2hg g Függőleges hajı́tás temelkedés = v0 g 1 v2 hmax = v0 · t − gt2 = 0 2 2g s s 2h 2 v02 v0 tesés = = · = = temelkedés g g 2g g v0 vvégső = g · tesés = g · = v0 g 4.3 Vı́zszintes hajı́tás s tesés = 2h g s dtávolság = v0 · tesés = v0 · 2h g 1 · g · t2 2 q q 2 2 vv = v0 + vy = v02 + 2hg h= A parabola egyenlete: y = 4.4 1 x2 ·g· 2 2 v0 tan α = vy vx Ferde hajı́tás v0x = v0 · cos α v0y = v0 · sinα v0 tössz = 2 · tem = 2 · =2· g hmax = 2 · v0x · v0y g 2 · v0 · sin α · v0 · cos α v 2 · sin2 2α = 0 −→ D akkor a legnagyobb, ha 2α = 90◦ azaz α = 45◦ g g 5 Körmozgás kinematikája 5.1 Egyenletes körmozgás ˆ azonos idő alatt azonos körı́vet fut be − ˆ → v nem állandó, mert az iránya változik − ˆ |→ v | - a sebesség értéke állandó Paraméterei ˆ R - a kör sugara 1 ˆ T - köridő (periódus) - f = frekvencia = T 2Rπ ˆ kerületi sebesség: vker = T ˆ szögsebesség, jele: ω ∆α 2π ω= = ∆t t ∆s R · ∆α vker = = =R·ω ∆t ∆t 5.1.1 2hmax g 2 v0y 2g Dmax = v0x · 2 · tem = D= s A sebesség irányának változása - középponti gyorsulás ∆v h h = ⇒ ∆v = · v v r r h · v ∆v h v a= = r = · ∆t ∆t ∆t r Ha ∆t → 0, akkor az alábbi közelı́téssel a kiszámolható: h ∆i ≈ =v ∆t ∆t v2 a= r − − Az → a vektor iránya megegyezik ∆→ v sebességvektoréval, amelynek iránya az ábra alapján a kör középpontja felé mutat. Tehát a középponti / centripetális gyorsulás acp = 5.2 v2 = r · ω2 = v · ω r Egyenletesen változó körmozgás Ha a körmozgást végző test érintőirányú sebessége állandóan növekszik, akkor a centripetális gyorsulása mellett tangenciális (érintőirányú) gyorsulása is lesz. Jele: at . Az eredő gyorsulás ekkor: q ac = a2cp + a2t Egyenletesen változó körmozgás esetén ω szögsebesség is egyenletesen változik. Ezt a változást szöggyorsulásnak nevezzük. Jele : β.   ∆ω 1 β= ∆t s2 Az egyenletesen változó körmozgásra alkalmazhatjuk az egyenletesen változó egyenes vonalú mozgás vizsgálatánál megismert törvényeket: ω = ω0 + β · t 1 α = ω0 · t + βt2 2 ω 2 = ω02 + 2 · β · α A szöggyorsulás és a tangenciális gyorsulás összekapcsolható: at = ∆v ∆ω · r = =β·r ∆t ∆t