Merev test dinamikája Merev test A klasszikus mechanikában a merev test a véges nagyságú szilárd test idealizált modellje, amelynél az alakváltozás olyan kis mértékű, hogy a számı́tásokban elhanyagolható. Más szóval a merev test bármely két pontjának távolsága időben állandó, függetlenül a rá ható erőhatásoktól. 1. Impulzusnyomaték = perdület Egy rögzı́tett tengely körül forgó kiterjedt merev test tetszőleges mi , ri pontjának sebessége és impulzusa felı́rható: vi = ω · ri I = mi · vi Perdület A perdület, más néven impulzusnyomaték, vagy impulzusmomentum a klasszikus fizikában egy test forgási mozgásállapotát jellemző vektormennyiség. Jele: N. Egy mozgó adott pontra vonatkoztatott perdületét az alábbi kifejezés adja meg: Ni = Ii × ri = mi · vi · ri = mi · ri · ω · ri = ω · mi r2i Ha az egész forgó test perdületét tekintjük, összegeznünk kell minden pontra eső egységnyi perdületet: X X N= Ni = ω · mi ri 2 1.1. Tehetetlenségi nyomaték A test perdületét leı́ró egyenletben P mi ri2 egy olyan érték, amelyet a test alakja és tömege határoz meg. Tehetetlenségi nyomaték A tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Jele θ X θ= mi ri2 N =ω·θ 1.2. Perdületmegmaradás Egy merev test két tetszőleges tömegpontjára belső (Fij , Fji ) és külső (Fi , Fj ) erők hatnak. Ez alapján: ( mi ai = Fi + Fij mj aj = Fj + Fji ( i mi · ∆v ∆t · ri = ri · (Fi + Fij ) ∆vj mj · ∆t · rj = rj · (Fj + Fji ) ∆Ii · ri ∆Ij · rj + = ri · (Fi + Fij ) + rj · (Fj + Fji ) ∆t ∆t X ∆Ni X Fi ⇒ = ← összes nyomaték ∆t ri M= ∆N ∆t Ha M = 0 ⇒ ∆N = 0 ⇒ N = állandó. Tehát ha nincs külső nyomaték, a test perdülete változatlan marad. Ez a perdületmegmaradás tétele. N1 = N2 ω1 θ1 = ω2 θ2 2. A merev test alapegyenlete és analógiája ω ) behelyettesı́tve: A fent kapott egyenlőségbe a szöggyorsulás képletét (β = ∆t M= ∆N θ·ω = ⇒ ∆t ∆t M=θ·β 2.1. Analógia táblázat anyagi pont kiterjedt forgó test s (út) α (szög) v = ∆s ∆t ∆l ω = ∆t a = ∆v ∆t β = ∆ω ∆t v = v0 + at ω = ω0 + βt s = v0 + 12 at2 α = ω0 + 21 βt2 v 2 = v02 + 2as ω 2 = ω02 + 2βα I =m·v N =θ·ω F = ∆I ∆t M = ∆N ∆t F =m·a M =θ·β 2.2. Merev test forgási energiája, munkája, teljesı́tménye Az ω szögsebességgel forgó merev test minden tömegpontjának mozgási energiáját összegezve: E= X mi v 2 i 2 = X mi (ri ω)2 2 = ω2 X · mi ri2 2 θω 2 E= 2 Egy rögzı́tett merev testre ható M forgatónyomaték munkája α szögelfordulás esetén: W = M · α A munkatétel a forgómozgást végző testekre is érvényes, azaz: ∆E = Wforgás = M · α Egyenletes forgómozgás esetén az állandó M forgatónyomaték P teljesı́tménye is állandó: P = M · ω Változó forgómozgás esetén a pillanatnyi teljesı́tmény: P (t) = M · ω(t) 2.3. A forgómozgás és a kerületi gyorsulás kapcsolata Az egyenletes gyorsulással forgó merev test kerületi gyorsulására r sugár esetén az alábbi összefüggés ı́rható fel: at = ∆vkerületi ∆ (ω · r) ∆ω = =r· ∆t ∆t ∆t at = r · β 3. Steiner-tétel Ha ismert egy test tehetetlenségi nyomatéka egy TKP-n átmenő tengelyre, akkor kiszámı́tható az ezzel párhuzamos bármelyik tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték. Legyen M tömegű tetszőleges merev test tömegközéppontja O. O pontból mi tömegpontba húzott vektor ri . Amennyiben a forgástengely metszéspontját d vektorral O′ pontba toljuk, O′ és mi pontokat összekötő ′ vektor ri . Ezek alapján: → − → −, − ri = → ri − d X X θO = mi ri2 θO′ = mi ri,2 X X X X 2 θO ′ = mi (ri − di ) = mi ri2 + mi d2 − 2 mi ri d X X θO ′ = θO + M d 2 − 2 mi ri d mivel mi ri = 0 Steiner-tétel: θO′ = θO + M · d2 4. Példák 4.0.1. Mekkora erővel kell a korongot fékezni, hogy 10s alatt megálljon. Mekkora a fékezési munka? Az m = 50kg tömegű R = 0, 5m sugarú homogén korong 600/perc fordulatszámmal forog. A korong pereme és a féktuskó között a súrlódási együttható µ = 0, 5. A körhenger tehetetlenségi nyomatéka θ = 12 mR2 . f = 600/min = 10/s ω0 = 2πf A fékezőerő a súrlódási erő képletével felı́rható: Ffék = µ · F . A forgatónyomaték egyenletet felı́rva: M =θ·β 1 FF · R = mR2 · β 2 ∆ω 1 µ · F · R = mR2 · 2 ∆t mR2 ω mRω mR2πf F = = = 2µRt 2µt 2µt 50 · 0, 5 · 2π · 10 = 50π ≈ 157, 08N = 2 · 0, 5 · 10 A fékezési munka megegyezik a test forgási energiájának változásával: W = ∆E = 1 2 1 1 2 θω = · m · R2 · (20π) ≈ 12337, 01J 2 2 2 4.0.2. Mekkora a jojó gyorsulása? Mekkora a jojó gyorsulása, ha ismert m, r, R, és a körhenger tehetetlenségi nyomatéka θ = 12 mR2 .   G − K = m · a K ·r =θ·β   β = ar K ·r =θ· a a →K =θ· 2 r r a G−θ 2 =m·a r   a θ G=m·a+θ 2 =a m+ 2 r r a= m·g g 2gr2 = = 2 R2 2r2 + R2 m + 21 mR 1 + 2r 2 r2 4.0.3. Tiszta gördülés a lejtőn A lejtőn tisztán gördülő, meg nem csúszó henger mozgása a merev testek egyenleteivel leı́rható. A hengert G x irányú komponense Gx = G · sin α gyorsı́tja lefelé, miközben S súrlódási erő kényszerı́ti forgó mozgásra. A körhenger tehetetlenségi nyomatéka: θ = 12 mR2   G · sin α − S = m · a S·r =θ·β   a=r·β Az első egyenletből kifejezhető S súrlódási erő: S = G · sin α − m · a A második egyenletből kifejezhető β szöggyorsulás: β= S·r θ A gyorsulás egyenletébe behelyettesı́tve, majd azt rendezve: S · r2 r2 (G · sin α − m · a) = = θ θ G sin αr 2 G sin αr2
= = = mr 2 θ + mr 2 θ 1+ θ a=r·β = 2 G · sin αr2 = g sin α = 1 2 2 3 2 mr + mr