Munka, energia, ütközések 1 Munka Egy testre ható állandó F erő munkája az erő elmozdulás irányába eső összetevőjének és az elmozdulásnak a szorzata. Jele: W W = F · s [N · m] = [J] = Joule tárgyalás ha F ∥ s → α = 0◦ ⇒ cos 0◦ = 1 ⇒ W = F · s ha F ⊥ s → α = 90◦ ⇒ cos 90◦ = 0 ⇒ W = 0 azaz a mozgásra merőleges erő nem végez munkát W = F · s · cos α 2 Energia 2.1 Gyorsı́tási munka, mozgási energia Vı́zszintes, súrlódásmentes sı́kon egy m tömegű, kezdetben nyugvó testre a sı́kkal párhuzamos irányú F erő hat. Vizsgáljuk meg, mi történik, ha ez az erő s úton munkát végez! Wgy = F · s v2 − v1 , ∆t v1 + v2 2
m · v22 − v12 v2 − v1 v1 + v2 mv22 mv12 W =m· · s = m · (v2 − v1 ) = = − ∆t 2 2 2 2 W =m·a·s a= vk = A gyorsı́tás közben a végzett munka hatására a test egy új állapotba került, alkalmas körülmények között maga a test is tudna most már munkát végezni. Ezt úgy lehet legjobban megtapasztalni, hogy megpróbálunk kézzel lefékezni vagy megállı́tani egy mozgó testet. A testek sebességéből adódó munkavégző képességet mozgási (kinetikus) energiának nevezzük. Wgyorsı́tási = Emozgási = 2.2 1 m · v2 2 Emelési munka, helyzeti energia Wemelési = F · ∆h = m · g · (h2 − h1 ) = m · g · h2 − m · g · h1 Wemelési = Ehelyzeti = m · g · h A felemelt test ennyi munkát képes végezni. A munkavégző képessége az emelésbe befektetett külső munkából származik. 2.3 Rugalmas energia Fm ax D · ∆x · ∆x = · ∆x 2 2 2 D · ∆x22 D · x21 D · (x2 − x1 ) = − = 2 2 2 D · ∆x Erugalmas = 2 W = Fközép · ∆x = 2.4 Az energiamegmaradás Az A) helyzetben a testnek helyzeti energiája van, mozgási viszont nincs. A B) esetben pedig helyzeti energiája nincs, de mozgási energiája van. Az energiamegmaradás miatt az energiák mindig egyenlőek lesznek, ( ha a súrlódástól eltekintünk ). Ehelyzeti = Emozgási = Erugalmas Ezt a feltevést a feladat energia és kinematika útján történő levezetéssel bizonyı́thatjuk. Energia által Ehelyzeti = Emozgási m · v2 m·g·h=   2 p 2 v = 2 · h · g ⇒ v = 2hg Kinematika által sin α = s= h h ⇒l= l sin α a = g · sin α v 2 − v h 02  ⇒ v 2 = 2as = 2 · g ·  sin α·   2a sin α p v = 2gh 2.4.1 Összetett energiamegmaradás feladat Mekkora magasságból indı́tsuk el a testet, ha el akarjuk kerülni, hogy a hurokban leessen? Ekezdeti = m · g · h Ehurok = m · g · 2 · R + m · v2 2 v2 2 v2 R·G 2 G ≤ m ⇒ vmin = =R·g R m Fcp = m · acp = m · Ekezdeti = Ehurok mgh = mg2R + 1 · m · Rg 2 1 h = 2R + R = 2, 5R 2 2.4.2 Hasáb felborı́tásához szükséges munka √ a2 + b2 2 b ∆h = h − 2 h= √ Wfelborı́tás = m · g · ∆h = m · g · 2.5 a2 + b2 b − 2 2 ! A súrlódási erő munkája A csúszási súrlódás a mozgás során lassı́tja a testet, ami szintén munkavégzéssel jár. A csúszási súrlódás mindig a mozgás irányával ellentétesen hat, ezért negatı́v előjellel tüntetjük fel. A súrlódás által elhasznált energia (nagyrészt) hőenergiává alakul. → energia disszipáció Wsúrlódás = −Fsúrlódás · s = −µ · Ft · s = −µ · m · g · s 2.5.1 Példa - Mekkora a féktáv? m · v12 m · v22 = + Fs · s 2 2 m · v22 m · v12   = + µ · m·g·s 2 2 v12 = v22 + µ · g · s s= 3 v12 − v22 2·µ·g Teljesı́tmény A teljesı́tmény a munka és az elvégzéséhez szükséges időtartam hányadosa. A munkavégzés ”sebessége”. Jele: P   W J P= = [W ] = [Watt] = t s 4 Hatásfok A befektetett munka folyamatát, eredményességét hatásfokkal jellemezzük. A hatásfok dimenzió nélküli szám, amit gyakran %-os értékben adnak meg. Jele: η η= hasznos munka (/energia) összes befektetett munka (/energia) 4.0.1 Példa Mekkora hatásfokkal húzhatunk fel egy vödör vizet a kútból. 1kg, hkút=20m W =?, η =? Adatok: Vvödör = 10l, Wbef. = (mvödör + mvı́z ) · g · h = 11 · 10 · 20 = 2200J Whasznos = mvı́z · g · h = 10 · 10 · 20 = 2000J 2000 Whasznos η= = ≈ 0, 91 → 91% Wbef ektetett 2200 mvödör = 5 Lendület, avagy impulzus A test mozgásállapotának vizsgálatában nem csupán a sebesség, hanem a tömeg is fontos. A lendületet két ütköző golyó modellje alapján levezethetjük, amikor a két golyó ütközik egymással, nagyon rövid ∆t ideig kölcsönhatnak egymással. −−→ −−→ FBA = −FAB m ·− a→ = −m · − a→ A A B B ∆− v→ ∆− v→ A B mA · = −mB · ∆t ∆t − → mA · ∆ − v→ A = −m · ∆vB −  −  → → ′ ′ − → m A · vA − ← v− = −m · v − v A B B B − → − → ′ ′ − → mA vA + mB vB = mA − v→ A + mB vB A testek tömegének és sebességének a szorzatát lendületnek, impulzusnak nevezzük. → − Jele: I → − − I =m·→ v A golyók ütközését vizsgálva az alábbi egyenletet kapjuk: IA ′ + IB ′ = IA + IB , amiből az alábbi következtetés levonható: → − Zárt rendszerben a rendszert alkotó testek lendületeinek vektori összege állandó. Σ I = állandó 5.1 Abszolút rugalmatlan ütközés Az ütközés során a két test “összeragad”. m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2 ) u u= m1 v1 + m2 v2 m1 + m2 Példa Adatok: m1 = 1kg, m2 = 3kg, v1 = 5m/s, v2 = 1m/s m1 v1 + m2 v2 8 1·5+3·1 u= = = 2m/s = m1 + m2 4 4 Az energiák összehasonlı́tása: m1 v12 m2 v22 1 · 25 3 · 1 + = 14J + = 2 2 (1 + 3) · 4 (m1 + m2 ) · u2 = = 8J Evégső = 2 2 A látszólag elveszett 6J, nem elveszett, csupán az ütközés során (nagyrészt) hőenergiává alakult. 5.2 Ekezdeti = Robbanás A robbanás a rugalmatlan ütközés fordı́tottja. 5.3 Ikezdeti = Ivégső 0 = m2 u2 − m1 u1 Abszolút rugalmas ütközés Rugalmas ütközésben nemcsak a rendszer összes lendülete, hanem az összes mozgási energiája is megmarad. Először ı́rjuk fel az impulzusmegmaradást: m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 m1 v1 − m1 u1 = m2 u2 − m2 v2 m1 (v1 − u1 ) = m2 (u2 − v2 ) (1) Írjuk fel a mozgási energia megmaradását 1 1 1 1 m1 v12 + m2 v22 = m1 u21 + m2 u22 2 2 2 2 m1 v12 + m2 v22 = m1 u21 + m2 u22 m1 v12 − m1 u21 = m2 u22 − m2 v22 m1 (v12 − u21 ) = m2 (u22 − v22 ) (2) Most osszuk el a (2)-es egyenletet az (1)-es egyenlettel m2 (u22 − v22 ) m1 (v12 − u21 ) = m1 (v1 − u1 ) m2 (u2 − v2 ) v12 − u21 u22 − v22 = v1 − u1 u2 − v2 (v1 + u1 ) · (v1 − u1 ) (u2 + v2 ) · (u2 − v2 ) = v1 − u1 u2 − v2 v1 + u1 = u2 + v2 → u2 = v1 + u1 − v2 Ezt visszahelyettesı́tve a lendületmegmaradás egyenletébe, mindkét ismeretlenre egyenként: m1 (v1 − u1 ) = m2 (u2 − v2 ) m1 (v1 − u1 ) = m2 (v1 + u1 − v2 − v2 ) m1 v1 − m1 u1 = m2 v1 + m2 u1 − 2m2 v2 (m1 − m2 )v1 + 2m2 v2 = (m1 + m2 )u1 5.3.1 u1 = m1 − m2 2m2 v2 + v1 m1 + m2 m1 + m2 u2 = 2m1 m2 − m1 v1 + v2 m1 + m2 m1 + m2 Az abszolút rugalmas ütközések tárgyalása Álló céltárgy, megegyező tömeg Az 1-es test teljes mozgási energiáját és impulzusát átadja a 2-es testnek: v2 = 0 u1 = 0, . Pl.: biliárd golyók. Álló, végtelen tömegű testtel (pl. fallal) ütközés A mozgó test a falról teljes sebességét megőrizve visszapattan: u1 = −v1 5.4 u2 = v1 Példa Energia és impulzus. Adatok: m1 = 3kg, m2 = 5kg, l = 2m, α = 15◦ , I) Energiamegmaradás h = l − l · cos α Eh = Em 2 m · vgolyó  2 2 vgolyó = 2gh = 2g (l − l cos α) = 2gl (1 − cos α) p p vgolyó = 2gl (1 − cos α) = 2 · 10 · 2 · (1 − cos 15◦ ) ≈ 1, 17m/s m·g·h=  v2 = 0m/s, | u2 =? II) Abszolút rugalmas ütközés m2 − m1 2m1 vgolyó + v2 m1 + m2 m1 + m2 2·3 m2 − m1 u2 = · 1, 17 + ·0 3+5 m1 + m2 u2 ≈ 0, 88m/s u2 = ©2025 Hónap Hı́re Tudástár -