Rezgések világa 1. Periodikus mozgások jellemzői • valamilyen mozgásforma folyamatosan ismétlődik • egyensúlyi helyzetben a testre ható erők eredője nulla • a legnagyobb kitérés pillanatában a test sebessége pillanatnyilag nulla • paraméterei – T - periódus = egy teljes ciklus időtartama ∗ a periódus reciproka a frekvencia, ami az adott időtartam alatti rezgésszámot adja meg, f = T1 – A - amplitúdó = a mozgás legnagyobb kitérése a nyugalmi helyzetből 1.1. Harmonikus rezgések P⃗ Ha egy testet kimozdı́tunk nyugalmi helyzetéből a rá ható F eredő erő mindig az egyensúlyi helyzet felé mutat. Minden olyan erőt, amelynek nagysága a kitéréssel egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú harmonikus erőnek nevezünk. A harmonikus erők által létrehozott rezgéseket harmonikus rezgőmozgásoknak nevezzük. Jellemzői • a kitérése szinuszosan változik • a gyorsulása arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú • harmonikus erő hatása alatt áll 2. A rezgés és az egyenletes körmozgás Amennyiben a rezgőmozgás amplitúdója megegyezik a körmozgás sugarával, és mindkét mozgás ugyanabból a kiindulási helyzetből indul, abban az esetben a körmozgás vetülete megegyező lesz a harmonikus rezgőmozgással. Ez alapján kimondható, hogy minden harmonikus rezgőmozgás leı́rható egy referencia-körmozgással. Harmonikus rezgőmozgás esetén kihasználhatjuk, hogy α = ω · t, ahol α a megtett szög, ω a szögsebesség, t pedig az eltelt idő. Rezgések esetén ω szögsebességet körfrekvenciának nevezzük. A referencia körben legyen R = A, ezek alapján: y = A · sin α = A · sin (ωt) vy = v · cos α = A · ω · cos α = A · ω · cos (ωt) ay = −acp cos (90◦ − α) = −ω 2 · A · sin (ωt) = −ω 2 y 2.1. Fázis A rezgés pillanatnyi állapotát a mozgás egy fázisának nevezzük. A rezgés fázisát a test pillanatnyi helye és sebessége határozza meg. Az adott időpillanatban a rezgés állapotát meghatározza a referencia-körmozgást végző test szögelfordulás is. Ez a ϕ szög a fázisszög. Két rezgés egy fázisban van, ha fáziskülönbségük a teljesszög egész számszorosa. A rezgés nem minden esetben nyugalmi fázisból indul, ekkor a kezdőfázis φ0 az alábbiakban módosı́tja a harmonikus rezgőmozgás egyenleteit, t eltelt idő függvényében: y(t) = A · sin (ωt + φ0 ) v(t) = A · ω · cos (ωt + φ0 ) a(t) = −Aω 2 · sin (ωt + φ0 ) = −ω 2 · y 3. A rugó A harmonikus rezgőmozgás állatorvosi lova. F =m·a  = m · ω 2  −D ·  ∆y ∆y r D ω= m r r D 2π m ω= = =⇒ T = 2π · m T D 4. Ingamozgások 4.1. Matematikai inga A matematikai (fonál) inga egy l hosszúságú fonálból, és m pontszerű testből álló eszköz. Amennyiben a kitérés α < 5◦ , jó közelı́téssel mondhatjuk, hogy s ı́v hossza megegyezik h távolsággal: s ≈ h. Ezt kihasználva az inga mozgása F ≈ −Dh összefüggésnek megfelelő harmonikus rezgőmozgásként értelmezhető. h h mg → Gt = mg · sin α ≈ mg = h l l l D irányı́tóerő behelyettesı́thető a harmonikus rezgőmozgás képletébe: r F mg m D≈ = → T = 2π h l D sin α ≈ Így az inga periódusára az alábbi összefüggés kapható: s T = 2π l g 4.2. Fizikai inga Vı́zszintes tengely körül lengő, súlypontja felett felfüggesztett merev testet fizikai ingának nevezünk. Lengésidejét a fonálingával való összehasonlı́tással határozzuk meg. Minden fizikai inga visszavezethető egy matematikai ingára, melynek hossza megegyezik a fizikai inga redukált hosszával. Legyen a fizikai inga tömege M , forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka θ, súlypont és forgástengely távolsága s. Ha mindkét ingát α szöggel kilendı́tjük szöggyorsulásuk minden pillanatban megegyezik. A fizikai inga szöggyorsulása β= Fk M gs sin α = θ θ A fonálinga szöggyorsulása: β= g sin α Fk mgl sin α = = θ ml2 l A két szöggyorsulást egyenlővé téve: M gs sin α g sin α = θ l Redukált hossz: l = θ Ms A fonálinga lengésidejébe visszahelyettesı́tve megkapjuk a fizikai inga periódusát: s T = 2π θ M gs 5. Példák 5.0.1. Mekkora amplitúdóval mozog az m tömegű 100 Ft-os? amax = −ω 2 · y = ω 2 · A ω2 = m100F t D amax ≥ g mg m ·A≥g →A≥ D D 5.0.2. Írjuk fel a rezgés egyenleteit. D rugóállandójú rugóhoz egy m illetve M tömegű testet rögzı́tünk. Amikor csak m test van a rugóhoz erősı́tve annak megnyúlása l1 , amikor mindkét test a rugó megnyúlása l2 . A két test közötti szálat elvágjuk, ekkor m test harmonikus rezgőmozgást kezd végezni. ( D · ∆l1 = (M + m) g D · ∆l2 = m · g Mg (M + m) g − mg = D D A rezgés nem nyugalmi helyzetből, hanem az alsó határhelyzetből indul, ezért q A = l2 − l1 = D φ0 = − π2 . Továbbá ismert, hogy a rugó körfrekvenciája ω = m Így a rezgés egyenletei: ! r Mg D π y = A sin (ωt + φ0 ) = · sin ·t− D m 2 ! r r Mg D D π v = A · ω · cos (ωt + φ0 ) = · cos ·t− D m m 2 ! ! r r D Mg D π Mg D π 2 a = −ω · y = − · · sin ·t− =− · sin ·t− m D m 2 m m 2 5.0.3. Fizikai inga Egy h hosszúságú rúd felső pontjától számı́tva h/4 távolságra lévő vı́zszintes tengely körül kis kitéréssel leng. Határozzuk meg a periódusidejét. Mivel a rúd kis szögben tér ki, ezért fizikai ingaként fogható fel. Számı́tsuk a rúd tehetetlenségi nyomatékát h/4 távolságban a Steinertétel alkalmazásával:  2 h θ′ = θTKP + m · 4 7 1 1 = mh2 mh2 + m mh2 = 12 16 48 A fizikai inga lengésideje: s T = 2π s T = 2π θ , mgs ahol s = 7 2 48 mh = 2π h mg 4 s h 4 7h 12g