Statika 1. Forgatónyomaték Newton I. törvényére hivatkozva kimondhatjuk, hogy egy test egyensúlya alatt azt az állapotot értjük, amikor mozgásállapota nem változik. Gyorsulása a = 0, azaz a rá eső erők összege: ΣF = 0. Ez az állapot pontszerű testeknél könnyedén megállapı́tható. Kiterjedt testek esetén azonban, ez kicsit összetettebb. Egy hétköznapi példával: A mérleghintán két különböző súlyú gyerek úgy tud hintázni, ha a súlyosabb közelebb van a forgástengelyhez, mint a könnyebb. Tehát nem csak az a lényeges, hogy mekkora az erő, hanem az is, hogy hol támad. Kiterjedt test = azok a testek, amelyek mérete, alakja vagy tömegeloszlása más testekkel való kölcsönhatásuk során nem hanyagolható el. Merev test = egy idealizált test, melynek alakja és mérete állandó, függetlenül azokra ható erőktől. Bármely két pontja között a távolság mindig állandó. Egy rögzı́tett O pont körül forgó merev testre hassunk F erővel A forgatónyomaték az erő forgató hatása. Az erő és az erőkar szorzata. Jele: M M=F·k Merev kiterjedt test egyensúlyán azt az állapotot értjük, amikor a rá → − ható erők eredője Σ F = 0 és bármely pontjára a forgatónyomatékok kiegyenlı́tik egymást. ΣM = 0 2. Tömegközéppont A tömegközéppont egy fizikai fogalom, amely egy test vagy rendszer azon pontja, ahol a rendszer teljes tömege koncentrálódik. Ez a pont az összes tömegeloszlás és helyzet figyelembevételével határozható meg, és olyan, mintha a rendszer tömege egy pontban összpontosulna. Számı́tsuk ki az alábbi rendszer TKP-ját. A TKP távolsága az origótól x0 , a tömegek (m1 , m2 , m3 ) távolsága rendre x1 , x2 , x3 . Írjuk fel a forgatónyomatékokat az origóhoz viszonyı́tva. Mivel a rendszer nem mozog és nem forog, ezért összegük 0 kell, hogy legyen. G1 · (x0 − x1 ) + G2 · (x0 − x2 ) + G3 · (x0 − x3 ) = 0 G1 · x0 + G2 · x0 + G3 · x0 − G1 · x1 − G2 · x2 − G3 · x3 = 0 x0 · (G1 + G2 + G3 ) = G1 · x1 + G2 · x2 + G3 · x3 x0 = G1 · x1 + G2 · x2 + G3 · x3 ΣGi xi Σmi xi = = G1 + G2 + G3 ΣGi Σmi Tehát megállapı́tható, hogy egy részekből álló rendszer tömegközéppontjának helyét a részek mi tömegével súlyozott xi helyének átlagával definiálhatjuk. 2.0.1. TKP vs Súlypont A súlypont a test vagy sı́kidom súlyának középpontja, ahol az összes gravitációs erő hatása koncentrálódik. Kis kiterjedésű testeknél a súlypont és a tömegközéppont egybe esik. Nagy testek esetén a gravitációs-tér inhomogenitása miatt a súlypont a Föld irányába fog kitérni. 2.1. Lyukas test tömegközéppontja   G R G·x= +x 4 2 1 1 x= R+ x 8 4 1 3 x= R 4 8 R x= 6 A negatı́v súly” trükkjét alkalmazva a lyukas test TKP-ja ” könnyedén kiszámı́tható 3. Papposz–Guldin-tétel A Papposz–Guldin-tétel segı́tségével kiszámı́thatjuk egy szakasz vagy sı́kidom elforgatásával létrejövő test felületét illetve térfogatát. Ezt kihasználva bármilyen ismert hosszúságú szakasz, vagy ismert területű sı́kidom tömegközéppontja kiszámı́tható. 3.1. Ívek, szakaszok Papposz–Guldin 1. szerint: A = l · rTKP · α ahol l a szakasz hossza, α az elforgatás mértéke radiánban, rT KP pedig a tömegközéppont és a forgástengely távolsága. 3.1.1. A gyakorlatban Számı́tsuk ki a félkörı́v tömegközéppontjának helyét. Az ı́v hossza l = 2Rπ 2 = Rπ. Ehhez az ábrán látható módon fordı́tsuk el Θ = π-vel. Az ı́gy kapott félgömb felülete kétféle képen is kiszámı́tható. A hagyományos geometriai 2 képlet 4πR 2 , illetve a Papposz-Guldin képlet segı́tségével is. A két értéket egyenlővé téve: Ageo = APapposz 4πR2 = l · rT KP · α 2 4πR2 = 2π · rT KP · π 2 2R rT KP = π 3.2. Sı́kidomok Papposz-Guldin 2. szerint: V = A · rTKP · α ahol A a sı́kidom területe, α a forgatás szögének nagysága, rT KP pedig a tömegközéppont távolsága a forgástengelytől. 3.2.1. A gyakorlatban 2 Számı́tsuk ki a félkörlap tömegközéppontjának helyét. A lap felülete A = R2 π , amit α = π szöggel elforgatunk, a kapott félgömb térfogata pedig az ismert geometriai képletek segı́tségével kiszámı́tható. Ezek alapján a két térfogatot egyenlővé téve: Vgeo = VPapposz 1 4π 3 r2 π · R = · π · rT KP 2 3 2 4π 3 R = R2 · π 2 · rT KP 3 4R 4πR3 = rT KP = 3π 2 R2 3π ©2025 Hónap Hı́re Tudástár -