Dinamika 1 A fő kérdés: miért mozognak a testek? 1.1 Arisztotelész: A testek természetes állapota a nyugalom, a magára hagyott test megáll. A mozgás fenntartásához állandóan hatást (erőt) kell kifejteni. (A köznapi tapasztalat valóban erre utal) 1.2 Galilei Ez biztos? Mert a nyugalom és az egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenértékűek. Galilei rájön, hogy a hatás a mozgásállapot megváltoztatásához kell, nem a fenntartásához. Megfogalmazza a Galilei-féle relativitás elvét: Egymáshoz képest egyenes vonalú, egyenletes mozgást végző rendszerek a mechanikai jelenségek szempontjából egyenértékűek. 2 Newton törvényei 2.1 Newton I. törvénye: Tehetetlenség törvénye A testek alaptulajdonsága, hogy tehetetlenek, önmaguktól nem indulnak el, nem állnak meg: mindehhez valamilyen más testtel való kölcsönhatás szükséges. Ez alapján Newton axiómaszerűen kijelenti: Minden test megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását vagy nyugalmi állapotát mindaddig, amı́g egy másik test (vagy mező) ennek megváltoztatására nem kényszerı́ti. Tehetetlenségi rendszer (inerciarendszer) = Az olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyben igaz a Newton I. törvénye tehetetlenségi (inercia) rendszereknek nevezzük. 2.1.1 De mennyire tehetetlenek a testek? ˆ Ez a tulajdonság: a Testek Örök Mozgás Elleni Gonoszsága, röviden TÖMEG ˆ Jele: m, (= massa) ˆ Mértékegysége: kg (kilogramm) (1kg =1 dm3 vı́z 4 °C hőmérsékleten) ˆ A tömeg = tehetetlenség mértéke 2.2 Newton II. törvénye: a dinamika alaptörvénye 2.3 Newton III. törvénye: a hatás ellenhatás törvénye ˆ Ha egy testre erő hat, az gyorsulást közöl. ˆ A test ”a” gyorsulása azonos irányú a testre ható ”F ” erővel, nagysága egyenesen arányos az erő nagyságával, és fordı́tottan arányos a test”m” tömegével. ˆ Ha viszont az testre ható erők vektori összege nulla, akkor a test mozgásállapota változatlan marad. ˆ Erő = kölcsönhatás mértéke. – Mértékegysége: [N] (Newton) – Jele: F ˆ Gyorsulás = mozgásállapot változás. – Mértékegysége: [m/s2 ] – Jele: a ˆ 1 N az az erő, ami egy 1 kg-os testet 1 m/s2 gyorsulással gyorsı́t. F F=m·a →a= m ˆ Két test kölcsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, azonos hatásvonalú és egymással ellentétes irányú erő hat. ˆ Az erők mindig párban lépnek fel. Az egyik az egyik testre a másik a másik testre hat. 3 Erőfajták Az erőket két nagy csoportba sorolhatjuk ˆ Szabad erők: (van saját személyi igazolványuk, azaz képletük) ˆ Kényszererők: (a szabad erők kényszere szülte őket) – pl.: tartóerő, kötélerő 3.1 Nehézségi erő, súly, súlytalanság 3.1.1 Nehézségi erő Miért esnek le a szabadon engedett testek? Mennyi a gyorsulásuk a Föld felszı́nén? Azt az erőt, ami ezt eredményezi nehézségi (gravitációs) erőnek nevezzük. Fg = m · g ˆ Iránya jó közelı́téssel a Föld középpontja felé mutat (A Föld forgásából adódó piciny eltéréssel) ˆ a test tömegközéppontjában (TKP) támad – a test tömegközéppontjában (TKP) támad – szabályos homogén testek esetén valamelyik szimmetria középpont 3.1.2 Súlyerő Az az erő, amivel a test nyomja az alátámasztást, vagy húzza a felfüggesztést. Jele G 3.1.3 Példa Egy lefelé valamint felfelé mozgó liftben egy testet mérleggel mérünk. Hogyan változik a lift gyorsulásától függően a mérleg által mutatott érték. Adtok m = 50kg, g ≈ 10m/s2 (A) eset G − Ft = m · a − a lift lefelé mozog Ft = G − m · a Ft = m · g − m · a = m (g − a) Ft = 50 (10 − 3) = 50 · 7 = 350N Amikor a lift lefelé gyorsul a mérleg által mért érték kisebb (≈ 35kg). (B) eset Ft − G = m · a − a lift felfelé mozog Ft = G + m · a Ft = m · g + m · a = m (g + a) Ft = 50 (10 + 3) = 50 · 13 = 650N Amikor a lift lefelé gyorsul a mérleg által mért érték nagyobb (≈ 65kg). (C) eset a=g G − Ft = m · a − a lift lezuhan Ft = G − m · a Ft = m · g − m · a = m (g − a) Ft = 50 (10 − 10) = 50 · 0 = 0N Zuhanás során a súlytalanság állapota lép fel. 4 Kölcsönhatások 3. Elektromos kölcsönhatás (a) Forrása a töltés (b) Relatı́v erőssége 10−2 (c) Hatótávja ∞ (d) Szerepe az anyag szerkezetében van 4. Erős kölcsönhatás (a) Proton, neutron és pion a forrása (b) Relatı́v erőssége 1 (c) Hatótáv: az atommagon belül (d) Szerepe: az atommag szerkezetének kialakı́tása 1. Gravitáció (a) Forrása a tömeg (b) 10−38 relatı́v erősségű (c) Hatótávja ∞ (d) Az univerzum szerkezetét adja 2. Gyenge kölcsönhatás (a) Forrása: minden elemi részecske (b) Relatı́v erőssége 10−15 (c) Az atommagon belül van (d) Szerepe a béta bomlásban 5 Súrlódás Avagy a mágikus µ ami miatt lépéskor haladunk is 5.1 Tapadási súrlódás ˆ Egy bizonyos határszögig növelve a lejtő dölésszögét, a hasáb nem moccan – mintha odatapadt volna ˆ Ezt a kényszererőt nevezzük tapadási súrlódásnak. ˆ Egy határértékig egyenlő a húzóerővel, aztán elenged 5.2 Csúszási súrlódás ˆ A fékező és húzóerő most is egyenlők (egyenletesen mozog a test). ˆ Ezt a fékezőerőt, amely két felület egymáson való elmozdulásakor lép fel nevezzük csúszási súrlódási erőnek ˆ A súrlódási erő annál nagyobb, minél nagyobb a merőleges nyomóerő és függ a felületek minőségétől. ˆ Az arányossági tényező a súrlódási együttható. Jele: µ ˆ NEM FÜGG A FELÜLET NAGYSÁGÁTÓL! Fs−cs = Ft · µ 5.3 Gördülési súrlódás ˆ a felület és a test piciny alakváltozása eredményezi a gördülési súrlódást ˆ a gördülési súrlódás nagyságrenddel kisebb, mint a csúszás 5.4 Példa Adatok: m = 15kg, F = 40N, α = 30◦ , µ = 0, 2 Húzás esete Oy : G = F t + Fy Ft = G − Fy Ft = G − F · sinα = G − F · sin30◦ Ox : Fx − Fs = m · a ◦ Fx = F · cosα =F · cos30 Fs = µ · Ft = µ · (G − F · sinα) ◦ Fy = F · sinα =F · sin30 F · cos α − µ · (G − F · sin α) Fx − F s = = m m √ 40 · cos 30◦ − 0, 2 (150 − 40 · sin 30◦ ) 20 3 − 26 = = ≈ 0, 58m/s2 15 15 a= Tolás esete 6 Oy : Ft = G + Fy Ft = G + F · sinα = G + F · sin30◦ Ox : Fx − Fs = m · a Fs = µ · Ft = µ · (G + F · sinα) Fx = F · cosα =F · cos30◦ Fy = F · sinα =F · sin30◦ F · cos α − µ · (G + F · sin α) Fx − F s = = m m √ 40 · cos 30◦ − 0, 2 (150 + 40 · sin 30◦ ) 20 3 − 34 = = ≈ 0, 04m/s2 15 15 a= lényegesen kisebb Rugóerő x0 = 10cm x1 = 12cm x2 = 14cm F = állandó → D= rugóállandó ⇒ ∆x F = −D · ∆x x3 = 16cm   F N D= = ∆x m lineáris erőtörvény 6.0.1 Példa Határozzuk meg a rugó megnyúlását, ha m tömegű súlyt helyezünk rá. N , ∆x =?? m = 5kg, D = 2000 m ∆x = 7 Mozgás a lejtőn 7.1 Le a lejtőn F 50 = = 0, 025m D 2000 Ox :Ft = Gy Oy :Gx − Fs = m · a Gy · sin α − G · µ · cos α = m · a Gy · sin α − G · µ · cos α a= m m · g (sin α − Gµ · cos α) a= m a = g · (sin α − µ · cos α) Gx = G · cosα Gy = G · sinα 7.2 Fel a lejtőn Ox :Ft = Gy Oy :Gx + Fs = m · a Gy · sin α + G · µ · cos α = m · a m · g (sin α + gµ · cos α) m a = g · (sin α + µ · cos α) a= Gx = G · cosα Gy = G · sinα A lejtőn felfelé a súrlódás segı́ti a lassulást. 7.3 Példa α = 30◦ , 8 µ = 0, 1, l = 100m, | t =?, vv =? a = g · (sin α − µ cos α) a = 10 · (sin 30◦ − 0, 1 · cos 30◦ ) √ 10 − 3 a= = 4, 13m/s2 2 r r 1 2l 200 2  = ≈ 6, 96s v0  ·t+ ·a·t ⇒t= l = 2 a 4, 13 vv = a · ∆t = 4, 13 · 6, 96 ≈ 28, 74m/s Pontrendszerek 8.0.1 Példa 1 Adatok: m1 = 5kg, m2 = 15kg Fs1 = µ · Ft1 = µ · G1 Fs2 = µ · Ft t2 = µ · G2 ( test1 : F − K − Fs = m1 · a test2 : K − Fs2 = m2 · a Ft2 = G2 | Ft1 = G1 F − Fs1 − Fs2 = (m1 + m2 ) · a F − Fs1 − Fs2 F − µ · G1 − µ · G2 a= = m1 + m 2 m1 + m2 25 − 0, 1 · 50 − 0, 1 · 0, 1 · 150 5 1 = = = m/s2 5 + 25 20 4 8.0.2 Példa 2 Adatok: m1 = 5kg, m2 = 3kg, m3 = 10kg,   test1 : K12 − G1 = m1 · a test2 : K23 − Fs − K12 = m2 · a   test3 : G3 − K23 = m3 · a µ = 0, 1 . G3 − G1 − Fs = m1 · a + m2 · a + m3 · a G3 − G1 − Fs = a (m1 + m2 + m3 ) m3 · g − m1 · g − µ · m2 · g a= m1 + m 2 + m 3 m3 − m1 − µ · m2 a=g· Σm 10 − 5 − 0, 1 · 3 a = 10 · ≈ 2, 61m/s2 18 — a =?, K1,2 =?, K2,3 =? . K12 = m1 · a + G1 = 5 · 2, 61 + 50 ≈ 63, 05N K23 = G3 − m3 · a = 100 − 10 · 2, 61 ≈ 73, 9N ©2025 Hónap Hı́re Tudástár 3. digitalizált, átdolgozott, lektorált verzió