Munka, energia, forgatónyomaték 1 Munka Egy testre ható állandó F erő munkája az erő elmozdulás irányába eső összetevőjének és az elmozdulásnak a szorzata. Jele: W W = F · s [N · m] = [J] = Joule tárgyalás ha F ∥ s → α = 0◦ ⇒ cos 0◦ = 1 ⇒ W = F · s ha F ⊥ s → α = 90◦ ⇒ cos 90◦ = 0 ⇒ W = 0 azaz a mozgásra merőleges erő nem végez munkát 2 Energia 2.1 Gyorsı́tási munka, mozgási energia Vı́zszintes, súrlódásmentes sı́kon egy m tömegű, kezdetben nyugvó testre a sı́kkal párhuzamos irányú F erő hat. Vizsgáljuk meg, mi történik, ha ez az erő s úton munkát végez! Wgy = F · s 1 W =m·a·s s = at2 , v = a · t 2 1 a2 t2 1 W = m · a · a · t2 = m · · m = m · v2 2 2 2 A gyorsı́tás közben a végzett munka hatására a test egy új állapotba került, alkalmas körülmények között maga a test is tudna most már munkát végezni. Ezt úgy lehet legjobban megtapasztalni, hogy megpróbálunk kézzel lefékezni vagy megállı́tani egy mozgó testet. A testek sebességéből adódó munkavégző képességet mozgási (kinetikus) energiának nevezzük. 2.2 Wgyorsı́tási = Emozgási = 1 m · v2 2 Emelési munka, helyzeti energia Egyenletes mozgatás esetén a dinamika alapegyenlete alapján az emelőerő és a nehézségi erő nagysága azonos. Ha ezután a kötél mindkét végére m tömegű testet helyezünk, akkor a mozgás beindı́tása után a magasban levő test lassan süllyed, és h magasságba emeli a másikat. Vagyis a h magasságban levő testnek munkavégző képessége van. 2.3 Wemelési = Ehelyzeti = m · g · h Rugalmas energia A rugó összenyomása szintén munkavégzést igényel, az összenyomott rugó pedig elengedéskor munkát tud végezni. A rugóban tárolt energia a következőként ı́rható fel: Erugalmas = D · ∆l2 2 2.4 Az energiamegmaradás Az A) esetben a testnek helyzeti energiája van, mozgási viszont nincs. A B) esetben pedig helyzeti energiája nincs, de mozgási energiája van. Az energiamegmaradás miatt az energiák mindig egyenlőek lesznek, ( ha a súrlódástól eltekintünk ). Ehelyzeti = Emozgási = Erugalmas Ezt a feltevést a feladat energia és kinematikai levezetésével bizonyı́thatjuk. Energia által Ehelyzeti = Emozgási m · v2 m·g·h=   2 p 2 v = 2 · h · g ⇒ v = 2hg Kinematika által sin α = s= 2.5 h h ⇒l= l sin α a = g · sin α v 2 − v h 02  ⇒ v 2 = 2as = 2 · g ·  sin α·   2a sin α p v = 2gh A súrlódási erő munkája A csúszási súrlódás a mozgás során lassı́tja a testet, ami szintén munkavégzéssel jár. A súrlódás által elhasznált energia (nagyrészt) hőenergiává alakult. → energia disszipáció Wsúrlódás = −Fsúrlódás · s = −µ · Ft · s = −µ · m · g · s 2.5.1 Példa Mekkora a féktáv? m · v22 m · v12 = + Fs · s 2 2 2 2 m · v1 m·v  m·g·s =  2 +µ· 2 2 v12 = v22 + µ · g · s s= 3 v12 − v22 2·µ·g Teljesı́tmény A teljesı́tmény a munka és az elvégzéséhez szükséges időtartam hányadosa. A munkavégzés ”sebessége”. Jele: P   W J P= = = [W ] = [Watt] t s 4 Hatásfok A befektetett munka folyamatát, eredményességét hatásfokkal jellemezzük. A hatásfok dimenzió nélküli szám, amit gyakran %-os értékben adnak meg. Jele: η η= hasznos munka (/energia) összes befektetett munka (/energia) 4.0.1 Példa Mekkora hatásfokkal húzhatunk fel egy vödör vizet a kútból. Adatok: Vvödör = 10l, mvödör = 1kg, hkút=20m W =?, η =? Wbef. = (mvödör + mvı́z ) · g · h = 11 · 10 · 20 = 2200J Whasznos = mvı́z · g · h = 10 · 10 · 20 = 2000J 2000 Whasznos = ≈ 0, 91 → 91% η= Wbef ektetett 2200 5 Lendület, avagy impulzus A test mozgásállapotának vizsgálatában nem csupán a sebesség, hanem a tömeg is fontos. A lendületet két ütköző golyó modellje alapján levezethetjük, amikor a két golyó ütközik egymással, nagyon rövid ∆t ideig kölcsönhatnak egymással. −−→ −−→ FBA = −FAB m ·− a→ = −m · − a→ A A B B ∆− v→ ∆− v→ A B = −mB · mA · ∆t ∆t − → mA · ∆ − v→ A = −m · ∆vB −  −  → → ′ ′ ← − − → mA · vA − vA = −mB · vB − vB − → − → ′ ′ − → mA vA + mB vB = mA − v→ A + m B vB A testek tömegének és sebességének a szorzatát lendületnek, impulzusnak nevezzük. → − → − Jele: I − I =m·→ v A golyók ütközését vizsgálva az alábbi egyenletet kapjuk: IA ′ + IB ′ = IA + IB , amiből az alábbi következtetés levonható: → − Zárt rendszerben a rendszert alkotó testek lendületeinek vektori összege állandó. Σ I = állandó 5.1 Abszolút rugalmatlan ütközés Az ütközés során a két test ”összeragad”. m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2 ) u u= m1 v1 + m2 v2 m1 + m 2 Példa Adatok: m1 = 1kg, m2 = 3kg, v1 = 5m/s, v2 = 1m/s m1 v1 + m2 v2 8 1·5+3·1 u= = = 2m/s = m1 + m 2 4 4 Az energiák összehasonlı́tása: m1 v12 m2 v22 1 · 25 3 · 1 + = 14J + = 2 2 (m1 + m2 ) · u2 (1 + 3) · 4 Evégső = = = 8J 2 2 A látszólag elveszett 6J, nem elveszett, csupán az ütközés során (nagyrészt) hőenergiává alakult. 5.2 Ekezdeti = Robbanás A robbanás a rugalmatlan ütközés fordı́tottja. Ikezdeti = Ivégső 0 = m2 u2 − m1 u1 5.3 Abszolút rugalmas ütközés Rugalmas ütközésben nemcsak a rendszer összes lendülete, hanem az összes mozgási energiája is megmarad. Először ı́rjuk fel az impulzusmegmaradást: m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 m1 v1 − m1 u1 = m2 u2 − m2 v2 m1 (v1 − u1 ) = m2 (u2 − v2 ) (1) Írjuk fel a mozgási energia megmaradását 1 1 1 1 m1 v12 + m2 v22 = m1 u21 + m2 u22 2 2 2 2 m1 v12 + m2 v22 = m1 u21 + m2 u22 m1 v12 − m1 u21 = m2 u22 − m2 v22 m1 (v12 − u21 ) = m2 (u22 − v22 ) (2) Most osszuk el a (2)-es egyenletet az (1)-es egyenlettel m2 (u22 − v22 ) m1 (v12 − u21 ) = m1 (v1 − u1 ) m2 (u2 − v2 ) 2 2 v1 − u 1 u2 − v22 = 2 v1 − u 1 u2 − v2 (u2 + v2 ) · (u2 − v2 ) (v1 + u1 ) · (v1 − u1 ) = v1 − u 1 u2 − v2 v1 + u1 = u2 + v2 → u2 = v1 + u1 − v2 Ezt visszahelyettesı́tve a lendületmegmaradás egyenletébe, mindkét ismeretlenre egyenként: m1 (v1 − u1 ) = m2 (u2 − v2 ) m1 (v1 − u1 ) = m2 (v1 + u1 − v2 − v2 ) m1 v1 − m1 u1 = m2 v1 + m2 u1 − 2m2 v2 (m1 − m2 )v1 + 2m2 v2 = (m1 + m2 )u1 5.3.1 u1 = 2m2 m1 − m2 v2 + v1 m1 + m2 m1 + m2 u2 = m2 − m1 2m1 v1 + v2 m1 + m2 m1 + m2 Az abszolút rugalmas ütközések tárgyalása Álló céltárgy, megegyező tömeg Az 1-es test teljes mozgási energiáját és impulzusát átadja a 2-es testnek: v2 = 0 . Pl.: billiárdgolyók. Álló, végtelen tömegű testtel (pl. fallal) ütközés A mozgó test a falról teljes sebességét megőrizve visszapattan: u1 = −v1 5.4 u1 = 0, u2 = v1 Példa Energia és impulzus. Adatok: m1 = 3kg, m2 = 5kg, l = 2m, α = 15◦ , I) Energiamegmaradás h = l − l · cos α Eh = Em 2 m · vgolyó  2 2 vgolyó = 2gh = 2g (l − l cos α) = 2gl (1 − cos α) p p vgolyó = 2gl (1 − cos α) = 2 · 10 · 2 · (1 − cos 15◦ ) ≈ 1, 17m/s m·g·h=  v2 = 0m/s, | u2 =? II) Abszolút rugalmas ütközés m2 − m 1 2m1 vgolyó + v2 m1 + m2 m1 + m 2 2·3 m2 − m1 u2 = · 1, 17 + ·0 3+5 m1 + m2 u2 ≈ 0, 88m/s u2 = 6 Egyensúly vizsgálata, forgatónyomaték Newton I. törvényére hivatkozva kimondhatjuk, hogy egy test egyensúlya alatt azt az állapotot értjük, amikor mozgásállapota nem változik. Gyorsulása a = 0, azaz a rá eső erők összege: ΣF = 0. Ez az állapot pontszerű testeknél könnyedén megállapı́tható. Kiterjedt testek esetén azonban, ez kicsit összetettebb. Egy hétköznapi példával: A mérleghintán két különböző súlyú gyerek úgy tud hintázni, ha a súlyosabb közelebb van a forgástengelyhez, mint a könnyebb. Tehát nem csak az a lényeges, hogy mekkora az erő, hanem az is, hogy hol támad. Kiterjedt test = azok a testek, amelyek mérete, alakja vagy tömegeloszlása más testekkel való kölcsönhatásuk során nem hanyagolható el. Merev test = egy idealizált test, melynek alakja és mérete állandó, függetlenül azokra ható erőktől. Egy rögzı́tett O pont körül forgó merev testre hassunk F erővel A forgatónyomaték az erő forgató hatása. Az erő és az erőkar szorzata. Jele: M M=F·k Merev kiterjedt test egyensúlyán azt az állapotot értjük, amikor a rá → − ható erők eredője Σ F = 0 és bármely pontjára a forgatónyomatékok kiegyenlı́tik egymást. ΣM = 0 6.1 Párhuzamos erők összegzése, egyensúly számı́tása M1 = M2 ⇒ G1 · k1 = G2 · k2 ( G1 · k1 = G2 · k2 k1 + k 2 = l G1 · k1 = G2 · (l − k1 ) G1 · k1 = G2 · l − G2 · k1 G1 · k1 + G2 · k1 = G2 · l k1 · (G1 + G2 ) = G2 · l =⇒ =⇒ k1 = m2 · g · l m2 · l G2 · l = = G1 + G2 m1 · g + m 2 · g m1 + m2 k2 = l − k1 = m1 · l m1 + m 1